Kalkulačka divergencie

Autor: Henrick Yau
- July 21, 2026
| |

Kalkulačka divergencie

Vypočítajte divergenciu vektorového poľa. Divergencia meria mieru, akou „hustota“ opúšťa danú oblasť priestoru, a je kľúčovým pojmom vo vektorovom počte.

div F = ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

Vstup vektorového poľa

Možnosti zobrazenia

O divergencii

Divergencia je skalárna veličina, ktorá meria tendenciu vektorového poľa "prúdiť" preč alebo smerom k bodu. Označuje sa ∇·F (del bodka F) alebo div F.

Matematická definícia:

Pre vektorové pole F = (F₁, F₂, F₃) v 3D karteziánskych súradniciach je divergencia definovaná ako:

div F = ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z
Fyzikálna interpretácia:

Divergencia meria čistý tok poľa von z malého objemu okolo bodu. V danom bode:

  • Pozitívna divergencia: Pole prúdi von (zdroj)
  • Negatívna divergencia: Pole prúdi dnu (pohlcovač)
  • Nulová divergencia: Pole nemá žiadny čistý odtok ani prítok (nestlačiteľné)
Divergencia v rôznych súradnicových systémoch:

Karteziánske súradnice (x, y, z):

∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

Valcové súradnice (r, θ, z):

∇·F = (1/r) · ∂(r·Fr)/∂r + (1/r) · ∂Fθ/∂θ + ∂Fz/∂z

Sférické súradnice (ρ, θ, φ):

∇·F = (1/ρ²) · ∂(ρ²·Fρ)/∂ρ + (1/(ρ·sin(φ))) · ∂(sin(φ)·Fθ)/∂θ + (1/(ρ·sin(φ))) · ∂Fφ/∂φ
Aplikácie:
  • Elektromagnetizmus: Gaussov zákon spája divergenciu elektrického poľa s hustotou náboja
  • Dynamika tekutín: Divergencia rýchlostného poľa indikuje stlačiteľnosť tekutín
  • Prenos tepla: Divergencia tepelného toku opisuje zdroje alebo pohlcovače tepla
  • Kvantová mechanika: Divergencia prúdovej hustoty súvisí so zachovaním náboja

Čo je to kalkulačka divergencie?

Kalkulačka divergencie je interaktívny nástroj, ktorý vám pomôže vypočítať divergenciu vektorového poľa v 2D alebo 3D priestore. Divergencia je pojem z vektorového počtu, ktorý udáva, ako veľmi sa vektorové pole v danom bode rozptyľuje alebo zbieha. Tento nástroj podporuje karteziánske, valcové a guľové súradnicové systémy.

Je obzvlášť užitočný pre študentov, inžinierov a všetkých, ktorí pracujú s fyzikálnymi poľami, ako je prúdenie tekutín, elektromagnetizmus alebo termodynamika.

Vzorec divergencie v karteziánskych súradniciach:
div F = ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

Kľúčové funkcie

  • Podpora 2D a 3D vektorových polí
  • Výber medzi karteziánskymi, valcovými a guľovými súradnicami
  • Možnosť vyhodnotiť divergenciu v konkrétnom bode
  • Postupný rozpis parciálnych derivácií
  • Možnosť zjednodušiť výsledky a kontrolovať desatinnú presnosť

Ako používať kalkulačku

  1. Vyberte počet dimenzií (2D alebo 3D).
  2. Zvoľte súradnicový systém, ktorý zodpovedá vášmu problému.
  3. Zadajte zložky vektorového poľa (napr. F₁, F₂, F₃).
  4. Voliteľne zvoľte vyhodnotenie v konkrétnom bode prepnutím možnosti „Vyhodnotiť v bode“.
  5. V prípade potreby upravte nastavenia zobrazenia, ako je počet desatinných miest alebo jednotky uhla.
  6. Kliknite na Vypočítať divergenciu pre zobrazenie výsledkov a voliteľných krokov riešenia.

Prečo je to užitočné?

Pochopenie divergencie pomáha interpretovať, ako sa pole správa v priestore. Tento nástroj vám umožňuje:

  • Vypočítať divergenciu vizuálne a presne
  • Skúmať správanie polí vo fyzike, inžinierstve a matematike
  • Precvičovať viacrozmerné derivovanie a kroky parciálnych derivácií
  • Overiť si prácu vykonanú ručne alebo počas riešenia problémov

Je obzvlášť užitočný v kombinácii s nástrojmi ako Kalkulačka parciálnych derivácií, Kalkulačka smerovej derivácie alebo Kalkulačka rotácie, najmä pri učení viacrozmerného počtu.

Súvisiace nástroje

Táto kalkulačka patrí do rodiny matematických riešičov, ktoré zahŕňajú:

  • Kalkulačka parciálnych derivácií – výpočet parciálnych derivácií krok za krokom
  • Kalkulačka smerovej derivácie – analýza zmien vektorového poľa v konkrétnom smere
  • Kalkulačka druhej derivácie – vyhodnotenie zmien druhého rádu pre hlbšiu analýzu
  • Kalkulačka rotácie – výpočet rotácie vektorových polí na skúmanie rotačného správania

FAQ

Čo je divergencia?
Divergencia meria, ako veľmi sa vektorové pole v bode rozptyľuje (kladná divergencia) alebo zbieha (záporná divergencia).

Môže tento nástroj vyhodnocovať parciálne derivácie?
Áno. Táto kalkulačka vykonáva viacrozmerné derivovanie na pozadí a počíta parciálne derivácie každej zložky vektorového poľa.

Aký je rozdiel medzi karteziánskymi, valcovými a guľovými súradnicami?
Sú to rôzne spôsoby opisu polohy v priestore. Karteziánske používajú (x, y, z), valcové (r, θ, z) a guľové (ρ, θ, φ). Vyberte ten, ktorý najlepšie zodpovedá vášmu poľu alebo problému.

Musím zadávať čísla alebo funkcie?
Môžete zadávať výrazy ako x*y*z, sin(θ) alebo r*cos(θ). Kalkulačka pracuje so symbolickou matematikou a na požiadanie dokáže vyhodnotiť aj hodnoty v konkrétnych bodoch.

Funguje to pre 2D polia?
Áno. Stačí zvoliť 2D a rozhranie sa prispôsobí. Tretia zložka sa odstráni.

Môžem sa učiť z krokov?
Rozhodne. Ak je zapnutá možnosť „Zobraziť kroky riešenia“, nástroj rozpisuje, ako sa počítajú parciálne derivácie a ako sa kombinujú do konečného vyjadrenia divergencie.